Hace unas semanas intenté hacer en mi torno un recipiente aproximadamente cilíndrico, y me dio mucho trabajo ahuecarlo. Terminé rompiendo sin querer la pieza de madera, y aunque traté de recuperarla, no quedó bien.

Mientras trabajaba en ella, se me ocurrió que sería una buena idea partir de una pieza segmentada en vez de hacerlo de un solo trozo de madera. Es decir, armarla con una cierta cantidad de duelas idénticas encoladas entre sí, para formar la superficie lateral.

Pero la cuestión tiene sus bemoles, según uno desee hacer un cilindro, un disco o un cono.

Parto de la base de que trabajo con madera cepillada, es decir cuyas caras opuestas son paralelas. Las duelas irán pegadas entre sí por los bordes, o sea que las caras paralelas lo seguirán siendo hasta el momento del torneado, y apuntarán hacia la parte interna y externa de la pieza terminada.

A continuación analizo las diferentes alternativas que se presentan, y cómo se resuelven. No considero duelas curvas, pero la fórmula general deducida se aplica también a ellas, considerando que habrá que calcular nuevamente los ángulos en cada punto de la arista.

En la figura principal (dibujo lineal, segunda imagen), los ángulos B y C se toman en referencia a cada duela, no a la pieza terminada. Esto se muestra con más claridad en la tercera imagen.

Lo aclaro porque alguien podría decir que tomando como modelo la imagen del disco, en la del cilindro estarían invertidos los ángulos B y C.

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A few weeks ago I tried to do using my lathe an approximately cylindrical container, and it gave me a lot of work to hollow. I ended up accidentally breaking the piece, and though I tried to recover it, the result was not so good.

While working on it, I thought it would be a good idea to start from a segmented piece rather than a single piece of wood. It is to say assembled with a certain amount of identical planks glued together to form the side surface.

But the question is a bit tricky, as one wishes to make a cylinder, a disk or a cone.

I assume that I am working on planed wood, whose opposite faces are parallel. The staves shall be glued together by the edges, meaning that the parallel faces will remain so until the time of turning, and will point to the inner and outer part of the finished piece.

Then I analyze the different available alternatives, and how to undertake them. I am not considering curved staves, but deduced general formula also applies to them, considering that there will be necessary to recalculate the angles at each point of the edge.

In the main figure (linear draw, 2nd image), the angles B and C are related in reference to each stave, not to the finished part. This is shown more clearly in the third image.

I clarify this because someone think that, taken as reference the disk image, in the cylinder the angles B and C would be inverted .

Step 1: Disk (disco)

Acá el cálculo es muy sencillo. Cada duela será un sector circular, de ángulo igual a 360 grados dividido por la cantidad de duelas. Ejemplo: si son 20 duelas, el ángulo debe ser de 360/20 = 18 grados.

La cosa terminaría acá si estuviéramos trabajando con chapa delgada, pero como se trata de madera con cierto espesor, hay que considerar el ángulo que forma cada lado de la duela con las superficies interna o externa. En este caso es obvio que ese ángulo es de 90 grados, dado que el conjunto es un disco plano.

En cuanto al largo de cada duela, evidentemente es igual al radio del disco.

Resumen: A = 90°; B = 0°; C = 18°

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Here the calculation is simple. Each stave is a circular sector of angle equal to 360 degrees divided by the number of staves. Example: If you are 20 staves, the angle should be 360/20 = 18 degrees.

The thing would end here if we were working with thin sheet, but as it comes with some thick wood, consider the angle between each side of the board with the internal or external surfaces. In this case it is obvious that this angle is 90 degrees, since the whole is a flat disc.

About the length of each board, evidently equals the radius of the disk.

Summary: A = 90°, B = 0° C = 18°

Step 2: Cilindro (cylinder)

Para hacer un cilindro, la cosa se resuelve fácilmente: cada duela tiene que tener forma rectangular y sección trapezoidal, con las caras laterales inclinadas un ángulo también igual a 360 grados dividido por la cantidad de duelas. Ejemplo: si son 20 duelas, el ángulo entre las caras que hacen contacto con las duelas adyacentes debe ser de 360/20 = 18 grados.

En cuanto al ancho de cada duela, se calcula dividiendo la circunferencia del cilindro por la cantidad de duelas. Por ejemplo, si queremos un cilindro de 8 cm de diámetro exterior hecho con 20 duelas, cada una deberá tener un ancho de 3.1416 * 8 cm / 20 = 1.25664 cm. Este cálculo sirve también para un cono.

El largo de cada duela es la altura del cilindro.

Resumen: A = 0°; B = 18°; C = 0°

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To make a cylinder, the thing is easily solved: each stave has to be rectangular shaped with trapezoidal section, with sides inclined at an angle also equal to 360 degrees divided by the number of staves. Example: if staves are 20, the angle between the sides that make contact with adjacent staves must be 360/20 = 18 degrees.

About the width of each stave, is calculated by dividing the circumference of the cylinder by the number of staves. For example, if we want a cylinder of 8 cm outside diameter made with 20 staves, each must have a width of 3.1416 * 8 cm / 20 = 1.25664 cm. This calculation is also used for a cone.

The length of each stave is the height of the cylinder.

Summary: A = 0°, B = 18°, C = 0°

Step 3: Cono –truncado– (–truncated– Cone)

Esa sería la forma lateral de un bol, por ejemplo.

Ahora estamos en un pequeño problema: tenemos que determinar DOS ángulos. Uno es el que determinará la conicidad, o sea el que forman las duelas con el eje del cono. El otro es el que forman las caras externa o interna de cada duela con la adyacente. Supongamos que queremos hacer un cono de 45 grados de inclinación. El ángulo A será intermedio entre los 18 grados que calculamos en el paso 1, y cero del paso 2.

Deducción de la fórmula general:

Acá la intuición sugiere aplicar las dos funciones trigonométricas más usadas, seno y coseno, que varían entre 0 y 1. Casualmente, para 45° ambas funciones valen lo mismo, 0.7071067, lo cual nos facilita la tarea.

Si consideramos que al aumentar el ángulo A el cono se va pareciendo cada vez más a un disco, y al diminuir se aproxima a un cilindro, podemos deducir que los ángulos B y C se calculan según las siguientes fórmulas:

B = (360° / n) cos A
C = (360° / n) sen A

Esta fórmula cubre los tres casos vistos: disco, cilindro y cono.

Y, como dije en la introducción, sirve incluso para duelas curvas, aplicándola en cada punto según varíe la curvatura, o sea el ángulo A.

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This would be the side of a bowl, for example.

Now we are in a small problem: we have to determine TWO angles. One is to determine the taper, or the staves forming with the axis of the cone. The other is formed by the internal or external faces of each stave with the adjacent. Suppose we want to make a cone of 45 degrees. The angle A is intermediate between the 18 degrees we calculated in step 1, and zero in step 2.

Deduction of the general formula:

Here intuition suggests applying the two most used trigonometric functions, sine and cosine, which vary between 0 and 1. Incidentally, to 45 ° both functions are equal, 0.7071067, which ease us the task.

If we consider that increasing angle A the cone will increasingly looking to disk, and to diminish it approaches a cylinder, we can deduce that the angles B and C are calculated by the following formulas:

B = (360° / n) cos A
C = (360° / n) sin A

This formula covers the three cases seen: disc, cylinder and cone.

And as I said in the introduction, it serves even for curvedstaves, applied at each point as it varies according to the curvature, ie the angle A.

Step 4: Aplicación Real (real Application)

Apliqué exitosamente las fórmulas citadas para construir un cono truncado de 45 grados con 18 duelas.

Pero ojo, una cosa es calcular un ángulo, y otra muy distinta construirlo con herramientas caseras. Por ese motivo, luego de calcular, medir y cortar cuidadosamente, me vi obligado a eliminar una duela para disminuir los desajustes que resultaron.

Hay que tener en cuenta que cualquier mínimo error se multiplica por la cantidad de duelas, lo cual hace sumamente difícil hacer uniones relativamente exactas. El viejo y noble método de "prueba y error" ayuda mucho en estos casos.

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Successfully applied cited formulas to construct a 45 degree truncated cone with 18 staves.

But beware, one thing is to calculate an angle, and another to build it with household tools. For this reason, after calculate, measure and cut carefully, I was forced to remove a stave to reduce the disarrangements that resulted.

Keep in mind that any slightest error is multiplied by the number of staves, which makes it extremely difficult to make relatively accurate joints. The noble old "trial and error" method helps a lot in these cases.

Step 5: Luego Del Torneado (after Turning)

Hoy 7 de agosto de 2013 agrego algunas fotos del bol luego de pasar por el torno.

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Today August 7, 2013 added some photos of the bowl after passing through the lathe.

Step 6: Nota (note):

Agregado el jueves 15 de agosto de 2013:

Es importante notar que cuando se cortan las duelas en una sierra de mesa, lo cual es lo más razonable salvo que se disponga de un CNC, la inclinación de la hoja/cinta de corte a los efectos del ángulo B debe ser LA MITAD de lo calculado, dado que la duela tiene DOS lados inclinados, y la suma de ambos ángulos debe ser B.

De la misma manera y por la misma causa, para hacer el ángulo C se debe inclinar el trineo justo la mitad.

Dicho sea de paso, una vez fijados ambos ángulos en la mesa de corte, cortar las duelas es sumamente rápido: se corta una, se gira la madera 180 grados sobre su eje longitudinal, se corta otra, y así sucesivamente hasta terminar.

Agregado el domingo 22 de setiembre de 2013:

La semana pasada hice una panera a 60 grados. Volví a tener pequeños desajustes debidos a errores en los ángulos, pero también se solucionaron en forma relativamente fácil.

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Added on Thursday, August 15, 2013:

Note that when you cut the staves in a table saw, which is the most reasonable unless provided a CNC, the blade/ribbon cutting tilt for the purpose of angle B should be HALF of what calculated, since there are TWO sloping sides, and the sum of both angles should be B.

In the same way and for the same reason, to make the angle C the sled should be tilted just half.

By the way, once fixed both angles in the cutting table, cutting the staves is extremely fast: first is cut, the wood is rotated 180 degrees about its longitudinal axis, cut another, and so on until finished.

Added on Sunday, September 22, 2013:

Last week I did a bread bin to 60 degrees. Again I have small misalignments due to errors in the angles, but also relatively easily solved.

Step 7: Three New Bowls and a Table (tres Bols Nuevos Y Una Tabla)

Hoy 15 de noviembre de 2013 agrego la foto de los últimos tres bols hechos con este sistema. Todavía no pude hacer uno sin fallas, pero cada vez me salen mejor, más fácil y más rápido.

Agrego también una tabla de los ángulos calculados para diferentes conicidades, y con diferentes cantidades de duelas. Las columnas de la derecha que dicen "Cuerda x 30 cm" me sirven para fijar los ángulos con mayor precisión, midiendo con el calibre venier la separación de los lados a 30 cm del vértice. El método es mucho mejor que el trasportador, lejos. (NOTA: subí la tabla en formato pdf, pero no aparece acá)

09/08/2014 Volví a subir las tablas y planillas, en formato PDF y ODS, veremos si ahora aparecen.

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Today November 15, 2013 add a photo of the last three bowls made with this system. I still can not do one without flaws, but every time I get them better, easier and faster.

Also added a table of calculated angles for different taper, and with varying amounts of staves. The columns to the right that say "Cuerda x 30 cm" I use them to fix the angles more accurately, measuring with vernier caliper the sides separation at 30 cm from the apex. This method is far much better than the protractor. (NOTE: I uploaded the table in pdf format, but it does not appears here).

Ago 09 2014 I uploaded again the charts and worksheets in PDF and ODS format, see if now appear.